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Animierte Raumkurve
Wenn sich ein Teilchen im dreidimensionalen Raum bewegt, wird einer Zeit t ein fester Ort r im Raum zugewiesen. Im Prinzip ist dies nichts Anderes als eine vektorwertige Funktion, die nur vom Parameter t abhängt. Solche Funktionen werden Raumkurven genannt.
Diese können in Maple relativ leicht geplottet werden. Das ist oft hilfreich, da die Raumkurven als Formel hingeschrieben oft wenig anschaulich sind, wohingegen ein Bild bekanntermaßen mehr als tausend Worte sagen kann.
So geht man vor, um eine Raumkurve im Maple zeichnen zu lassen:
Zunächst einmal wird das Paket "plots" und das Paket "LinearAlgebra" (denn wir benötigen Vektoren) eingebunden:
- # Neu starten und Plot- und LinearAlgebra-Paket einbinden
- restart;
- with (plots);
- with (LinearAlgebra);
Für das Beispiel sind ein paar Konstanten ganz nützlich:
- # Konstanten
- f[1]:= 10; f[2] := 12; f[3] := sqrt(2);
- m := 75;
- omega[1] := f[1] / m; omega[2] := f[2] / m; omega[3] := f[3] / m;
Dann werden die anzuzeigenden Funktionen definiert (wir wollen hier zwei bestimmte Raumkurven vergleichen):
- # Verschiedene Raumkurven definieren
- r[1] := t -> Vector([sin(omega[1] * t), sin(omega[2] * t), sin(omega[3]*t)]);
- r[2] := t -> Vector([sin(omega[1] * t), sin(omega[2] * t), sin(omega[2]*t)]);
Und nun wird die erte Raumkurve animiert:
- # Animieren
- animate(spacecurve, [r[1](t), t=0..a, numpoints=1000, axes=boxed, color=red, orientation=[5, 60]], a=0..500, frames=25);
Der animate-Befehl funktioniert analog zum einfachen Fall. Nur wird hier als erstes Argument nicht ein Plot übergeben, sondern eine spacecurve. In den eckigen Klammern stehen die Argumente für den Spacecurve-Befehl, es folgen die bekannten Animationsvariablen.
Der obige Befehl erzeugt folgende Animation:
Wir sehen, dass der Ortsvektor nach und nach verschiedene Orte innerhalb des Quadrates abfährt. In der Tat ist es so, dass die geplottete Bahnkurve die eines harmonischen anisotropen Oszillators ist. Das Besondere an seiner Bahn ist, dass er nie wieder am gleichen Punkt mit der selben Geschwindigkeit ankommt. Er fährt also - je länger mensch hinsieht - den kompletten Raum ab. Anders ausgedrückt: Seine Bahnkurve ist offen, das macht sich mathematisch in der dritten Komponente deutlich, da dort Wurzel(2) vorkommt. Somit passen die Winkelgeschwindigkeiten in keinem ganzzahligen Verhätnis ineinander.
Anders bei dieser Funktion:
- animate(spacecurve, [r[2](t), t=0..a, numpoints=1000, axes=boxed, color=red, orientation=[5, 60]], a=0..300, frames=25);
Hier fehlt die störende Wurzel in der dritten Komponente, und wie wir sehen, ist die Kurve nun geschlossen:
Diesen Oszillator nennt man daher auch (zumindest in der zweiten und dritten Komponente) isotrop.
Aber auch Folgendes ist möglich:
- animate(spacecurve, [r[2](t), t=a..a+0.1, style=point, numpoints=10, axes=boxed, color=green, orientation=[5, 60]], a=0..50, frames=50);
Hier wurde die untere Anzeigegrenze mit animiert, und es sieht fast so aus, als bewegte sich ein Teilchen im Raum:
Die Vielfalt des animate-Befehls wird auch hier deutlich:
- animate(spacecurve, [r[2](t), t=0..a, numpoints=1000, axes=boxed, color=green, orientation=[a/300*360, 20]], a=0..300, frames=25);
Dieses letzte Beispiel ist sicherlich übertrieben und wenig sinnvoll, es zeigt aber einmal mehr, wie viel Spaß mensch mit dem animate-Befehl haben kann, und mahnt zugleich dazu, es damit nicht zu übertreiben.
Das Maple-Skript gibt es hier zum Download: spacecurve_animiert.mw (20 KB).
