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Spacecurve
Wenn sich ein Teilchen im dreidimensionalen Raum bewegt, wird einer Zeit t ein fester Ort r im Raum zugewiesen. Im Prinzip ist dies nichts Anderes als eine vektorwertige Funktion, die nur vom Parameter t abhängt. Solche Funktionen werden Raumkurven genannt.
Diese können in Maple relativ leicht geplottet werden. Das ist oft hilfreich, da die Raumkurven als Formel hingeschrieben oft wenig anschaulich sind, wohingegen ein Bild bekanntermaßen mehr als tausend Worte sagen kann.
So geht man vor, um eine Raumkurve im Maple zeichnen zu lassen:
Zunächst einmal wird das Paket "plots" und das Paket "LinearAlgebra" (denn wir benötigen Vektoren) eingebunden:
- # Neu starten und Plot- und LinearAlgebra-Paket einbinden
- restart;
- with (plots);
- with (LinearAlgebra);
Dann wird die anzuzeigende Funktion definiert:
- # Funktion definieren
- r := t -> exp(-0.1 * t) * Vector([sin(2 * Pi * t), cos(2 * Pi * t), 2 * t]);
Was das beschreibt, ist vielleicht nicht so ganz ersichtlich. Daher wird diese Raumkurve jetzt gezeichnet, und das geht so:
- # Plot erstellen
- spacecurve(r(t), t=0..50, numpoints=10000, axes=boxed);
Der erste Parameter gibt die zu zeichnende (vektorwertige) Funktion an, der zweite Parameter gibt das Anzeigeintervall an. Der dritte Parameter ist wichtig: Er gibt an, wie viele Punkte Maple berechnen soll. Das liegt daran, dass Maple nicht die eigentliche Raumkurve zeichnet, sondern eine Annäherung an diese durch diese Anzahl von Punkten. Deshalb sollte die Anzahl hoch genug gewählt werden. Der vierte Parameter ist eigentlich optional, und bedeutet nur, dass Maple eine Koordinatensystem-Box um die Kurve zeichnet, das wird in der Ausgabe erkennbar:
Wir erkennen nun: Die Cosinus- und Sinus-Terme in x- und y-Komponente der Raumkurve sorgen für eine Kreisbewegung, der lineare Term 2*t in der z-Komponente der Raumkurve sorgt für eine geradlinige Bewegung in eben diese z-Richtung. Der exponentielle Dämpfungsterm sorgt dafür, dass die Kreise kleiner werden, und die Kurve sogar wieder zurück spiraliert.
Es ist sehr hilfreich, sich verschiedene Raumkurven einfach einmal plotten zu lassen, das erhöht das mathematische und physikalische Verständnis von Bewegungen enorm.
Das Maple-Skript gibt es hier zum Download: spacecurve.mw (18 KB).
